La puissance d'une matrice triangulaire d'ordre 3

Les premières puissances. $$A^2=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 1\end{array}\right),A^3=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 6\\ 0& 1& 3\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$$ Par exemple, le coefficient $(1,3)$ de $A^2$ est la première ligne de $A$ contre sa troisième colonne : $1+1+1=3$.

La conjecture. Les coefficients $(1,2)$ et $(2,3)$ valent $1,2,3$ : ils suivent $n$. Le coefficient $(1,3)$ vaut $1,3,6$ : ce sont les sommes $1$, $1+2$, $1+2+3$, c'est-à-dire $\frac{n(n+1)}{2}$. On conjecture $$A^n=\left(\begin{array}{ccc}1& n& \frac{n(n+1)}{2}\\ 0& 1& n\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$$

Démonstration par récurrence. Notons $P(n)$ cette égalité. Initialisation : pour $n=1$, la matrice annoncée est $\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=A$, car $\frac{1\times 2}{2}=1$. Hérédité : supposons $P(n)$ pour un $n\ge 1$ fixé et calculons $A^{n+1}=A^{n}A$. La troisième colonne de $A$ étant $(1,1,1)$ et les deux premières $(1,0,0)$ et $(1,1,0)$ :

• coefficient $(1,1)$ : $1$ ; coefficient $(1,2)$ : $1+n=n+1$ ;
• coefficient $(1,3)$ : $1+n+\frac{n(n+1)}{2}=\frac{2+2n+n^2+n}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$ ;
• deuxième ligne : $(0,1,1+n)$ ; troisième ligne : $(0,0,1)$.

C'est exactement la formule au rang $n+1$, puisque $\frac{(n+1)(n+2)}{2}$ est la valeur annoncée pour $n+1$. Conclusion : $P(n)$ est vraie pour tout $n\ge 1$.