Le déterminant d'un produit, en ordre deux

Le calcul. $AB=\left(\begin{array}{cc}a{a}^{\prime }+b{c}^{\prime }& a{b}^{\prime }+b{d}^{\prime }\\ c{a}^{\prime }+d{c}^{\prime }& c{b}^{\prime }+d{d}^{\prime }\end{array}\right)$, donc $$\det (AB)=(a{a}^{\prime }+b{c}^{\prime })(c{b}^{\prime }+d{d}^{\prime })-(a{b}^{\prime }+b{d}^{\prime })(c{a}^{\prime }+d{c}^{\prime }).$$ En développant, huit produits apparaissent. Deux paires se détruisent : $a{a}^{\prime }c{b}^{\prime }$ contre $a{b}^{\prime }c{a}^{\prime }$, et $b{c}^{\prime }d{d}^{\prime }$ contre $b{d}^{\prime }d{c}^{\prime }$ — ce sont les mêmes produits de quatre lettres. Restent $$ad{a}^{\prime }{d}^{\prime }+bc{b}^{\prime }{c}^{\prime }-ad{b}^{\prime }{c}^{\prime }-bc{a}^{\prime }{d}^{\prime }=(ad-bc)(a^{\prime }{d}^{\prime }-b^{\prime }{c}^{\prime })=\det (A)\det (B).$$

La conséquence. Si $A$ est inversible, $A{A}^{-1}=I_2$ donne $\det (A)\det (A^{-1})=\det (I_2)=1$. En particulier $\det (A)\ne 0$, et $\det (A^{-1})=1/\det (A)$.

Un corollaire. Si $AB$ est inversible, alors $\det (A)\det (B)\ne 0$, donc aucun des deux facteurs n'a un déterminant nul : $A$ et $B$ sont inversibles toutes les deux.

Le point à retenir. Le déterminant change un produit de matrices en un produit de nombres. C'est ce qui en fait, en ordre $2$, un test d'inversibilité qui se lit d'un coup d'œil.