Le produit n'est pas commutatif

$$AB=\left(\begin{array}{cc}7& 2\\ 3& 1\end{array}\right),BA=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 7\end{array}\right).$$

Les deux produits existent, ont la même taille, et diffèrent. Le produit matriciel n'est pas commutatif — c'est la première habitude du calcul sur les nombres qu'il faut abandonner.

On remarquera que $AB$ et $BA$ ont ici le même déterminant ($1$) : ce n'est pas un hasard, car $\det (AB)=\det (A)\det (B)=\det (B)\det (A)=\det (BA)$. Deux matrices différentes peuvent partager beaucoup.