Le produit n'est pas commutatif

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 2 — Calcul matriciel et systèmes linéaires · Produit, transposition et commutation

Énoncé

Calculer $A B$ et $B A$ pour $A = (1021)$ et $B = (1301)$ . Commenter.

Corrigé

$A B = (7321), B A = (1327) .$

Les deux produits existent, ont la même taille, et diffèrent. Le produit matriciel n'est pas commutatif — c'est la première habitude du calcul sur les nombres qu'il faut abandonner.

On remarquera que $A B$ et $B A$ ont ici le même déterminant ( $1$ ) : ce n'est pas un hasard, car $det (A B) = det (A) det (B) = det (B) det (A) = det (B A)$ . Deux matrices différentes peuvent partager beaucoup.

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