Les puissances d'une matrice diagonale

Les premières puissances. $$D^2=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 0& 1\end{array}\right),D^3=D^{2}D=\left(\begin{array}{cc}8& 0\\ 0& -1\end{array}\right).$$ (Les coefficients hors diagonale restent nuls : chaque terme du produit contient un facteur nul.)

Conjecture. $D^n=\left(\begin{array}{cc}{2}^n& 0\\ 0& (-1{)}^n\end{array}\right)$.

Récurrence. Soit $P(n)$ cette égalité. Initialisation : pour $n=1$, la formule donne $\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -1\end{array}\right)=D$. Hérédité : supposons $P(n)$ pour un $n\ge 1$ fixé. Alors $$D^{n+1}=D^{n}D=\left(\begin{array}{cc}{2}^n& 0\\ 0& (-1{)}^n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{2}^{n+1}& 0\\ 0& (-1{)}^{n+1}\end{array}\right),$$ ce qui est $P(n+1)$. Conclusion : la formule vaut pour tout $n\ge 1$.

La règle générale. Les puissances d'une matrice diagonale s'obtiennent en élevant chaque coefficient diagonal à la puissance voulue. C'est le cas le plus simple : les coefficients hors diagonale restent nuls à chaque produit, si bien qu'aucune récurrence compliquée n'est nécessaire. C'est le cas de figure vers lequel on cherchera toujours à se ramener.