Puissances d'une matrice triangulaire

$$A^2=\left(\begin{array}{cc}4& 4\\ 0& 4\end{array}\right),A^3=\left(\begin{array}{cc}8& 12\\ 0& 8\end{array}\right).$$

Les coefficients diagonaux sont $2^n$ ; le coefficient en haut à droite vaut $1,4,12$, c'est-à-dire $n{2}^{n-1}$. D'où la conjecture

$$A^n=\left(\begin{array}{cc}{2}^n& n{2}^{n-1}\\ 0& 2^n\end{array}\right),n\ge 1.$$

Démonstration par récurrence. Vraie pour $n=1$. Si elle vaut au rang $n$ :

$$A^{n+1}=A^{n}A=\left(\begin{array}{cc}{2}^n& n{2}^{n-1}\\ 0& 2^n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{2}^{n+1}& 2^n+n{2}^n\\ 0& 2^{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{2}^{n+1}& (n+1)2^n\\ 0& 2^{n+1}\end{array}\right),$$

qui est la formule au rang $n+1$.

Le calcul est court parce que $A=2I_2+N$ avec $N=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{01}{00}\right)$ et $N^2=0$ : le binôme de Newton, licite car $I_2$ et $N$ commutent, s'arrête au deuxième terme.