Puissances d'une matrice triangulaire

Exercice · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 2 — Calcul matriciel et systèmes linéaires · Puissances et suites récurrentes

Énoncé

Soit $A = (2012)$ . Calculer $A^{2}$ , $A^{3}$ , conjecturer $A^{n}$ et le démontrer.

Corrigé

$A^{2} = (4044), A^{3} = (80128) .$

Les coefficients diagonaux sont $2^{n}$ ; le coefficient en haut à droite vaut $1, 4, 12$ , c'est-à-dire $n 2^{n - 1}$ . D'où la conjecture

$A^{n} = (2^{n} 0 n 2^{n - 1} 2^{n}), n \geq 1.$

Démonstration par récurrence. Vraie pour $n = 1$ . Si elle vaut au rang $n$ :

$A^{n + 1} = A^{n} A = (2^{n} 0 n 2^{n - 1} 2^{n}) (2012) = (2^{n + 1} 0 2^{n} + n 2^{n} 2^{n + 1}) = (2^{n + 1} 0 (n + 1) 2^{n} 2^{n + 1}),$

qui est la formule au rang $n + 1$ .

Le calcul est court parce que $A = 2 I_{2} + N$ avec $N = (0 0 0 1)$ et $N^{2} = 0$ : le binôme de Newton, licite car $I_{2}$ et $N$ commutent, s'arrête au deuxième terme.

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