Toutes les matrices qui commutent avec une matrice donnée

Mise en équations. Posons $M=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& t\end{array}\right)$ et calculons les deux produits : $$MA=\left(\begin{array}{cc}x& x+y\\ z& z+t\end{array}\right),AM=\left(\begin{array}{cc}x+z& y+t\\ z& t\end{array}\right).$$ (Pour $MA$ : la première ligne de $M$ est $(x,y)$, les colonnes de $A$ sont $(1,0)$ et $(1,1)$, d'où $x$ et $x+y$ ; même calcul pour la seconde ligne.)

Identification. Deux matrices sont égales lorsque tous leurs coefficients le sont, ce qui donne quatre équations : $$x=x+z,x+y=y+t,z=z,z+t=t.$$ La première donne $z=0$, la deuxième $x=t$, la quatrième redonne $z=0$, la troisième est toujours vraie. Le système équivaut donc à $z=0$ et $t=x$.

L'ensemble cherché est $$\mathcal{C}=\left\{\left(\begin{array}{cc}x& y\\ 0& x\end{array}\right):(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\right\}=\left\{x{I}_2+yN:(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\right\},N=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right).$$ Il contient $I_2$ (pour $x=1$, $y=0$) et $A=I_2+N$ (pour $x=y=1$).

Stabilité. La somme de deux telles matrices est de la même forme (les coefficients $x$ s'ajoutent, les $y$ aussi, et le coin inférieur gauche reste nul). Pour le produit : $$\left(\begin{array}{cc}x& y\\ 0& x\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{x}^{\prime }& y^{\prime }\\ 0& x^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}x{x}^{\prime }& x{y}^{\prime }+y{x}^{\prime }\\ 0& x{x}^{\prime }\end{array}\right),$$ qui est encore de la forme voulue.