Transposer un produit

Les transposées. Transposer, c'est échanger lignes et colonnes : $${}^{t}A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& -1\end{array}\right),{}^{t}B=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 0& 4\end{array}\right).$$

Le produit. On a calculé $AB=\left(\begin{array}{cc}5& 8\\ -1& -4\end{array}\right)$ (ligne de $A$ contre colonne de $B$), donc $${}^t(AB)=\left(\begin{array}{cc}5& -1\\ 8& -4\end{array}\right).$$ De l'autre côté : $${}^{t}B{}^{t}A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 0& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3+2& 0-1\\ 0+8& 0-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& -1\\ 8& -4\end{array}\right).$$ Les deux résultats coïncident.

L'ordre s'inverse. Ce n'est pas un détail : ${}^{t}A{}^{t}B$ vaudrait $\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 6& -4\end{array}\right)$, qui n'est pas ${}^t(AB)$. La règle est ${}^t(AB)={}^{t}B{}^{t}A$, comme pour l'inverse d'un produit.

La matrice $S$. Elle est carrée, et ${}^{t}S=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 5\end{array}\right)=S$ : elle est bien symétrique. Une matrice est symétrique lorsqu'elle est égale à sa transposée, ce qui n'a de sens que pour une matrice carrée.