Trois déterminants, trois verdicts

Les déterminants. $$\det A=1\times 4-2\times 2=0,\det B=1\times 4-2\times 3=-2,\det C=5\times (-2)-(-1)\times 10=0.$$

Verdicts. Seule $B$ est inversible, puisque son déterminant est le seul non nul. On a d'ailleurs $B^{-1}=-\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ -3& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$.

Une colonne non nulle annulée par $A$. Les colonnes de $A$ sont proportionnelles : la seconde vaut deux fois la première. Prenons donc $X=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right)$ : $$AX=\left(\begin{array}{c}1\times 2+2\times (-1)\\ 2\times 2+4\times (-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right).$$

Pour $C$. Les colonnes sont ici encore proportionnelles : la première vaut $-5$ fois la seconde. Prenons $X=\left(\begin{array}{c}1\\ 5\end{array}\right)$ : $$CX=\left(\begin{array}{c}5\times 1+(-1)\times 5\\ 10\times 1+(-2)\times 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right).$$

Ce que cela illustre. Une matrice d'ordre $2$ est non inversible exactement lorsque le système homogène $MX=0$ a une solution non nulle — et le déterminant, qui se calcule en une ligne, le décide sans résoudre le système.