Un pivot qui s'arrête sur un paramètre

Le pivot. On garde $L_1$ et l'on élimine $x$ : $L_2\leftarrow L_2-L_1$ et $L_3\leftarrow L_3-L_1$ donnent $$\{\begin{array}{l}x+y+z=1\\ y+2z=1\\ 3y+(m-1)z=3\end{array}$$ Ces opérations élémentaires sont réversibles : le système obtenu a exactement les mêmes solutions. On élimine ensuite $y$ par $L_3\leftarrow L_3-3L_2$ : $$3y+(m-1)z-3y-6z=3-3\text{soit}(m-7)z=0.$$

Premier cas : $m\ne 7$. Alors $m-7\ne 0$, donc $z=0$. La deuxième équation donne $y=1$, la première $x=1-1-0=0$. Le système a une unique solution, $(x,y,z)=(0,1,0)$, et ce quelle que soit la valeur de $m\ne 7$.

Second cas : $m=7$. La dernière équation devient $0=0$ : elle ne contraint rien et libère une inconnue. On choisit $z=t$ comme paramètre, d'où $y=1-2t$ puis $x=1-y-z=1-(1-2t)-t=t$. L'ensemble des solutions est $$\{(t,1-2t,t):t\in \mathbb{R}\},$$ c'est-à-dire une infinité de solutions.

Conclusion. Le système n'est jamais incompatible : une solution particulière, $(0,1,0)$, le vérifie pour toute valeur de $m$. Il a donc une unique solution si $m\ne 7$, et une infinité si $m=7$ — jamais aucune, conformément au fait qu'un système linéaire a zéro, une, ou une infinité de solutions.