Un projecteur n'est inversible que s'il est l'identité

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 2 — Calcul matriciel et systèmes linéaires · Inversibilité et déterminant d'ordre 2

Énoncé

Soit $A \in M_{n} (R)$ telle que $A^{2} = A$ . Montrer que $I_{n} - A$ vérifie la même relation, puis que $A$ n'est inversible que si $A = I_{n}$ .

Corrigé

La même relation.

$(I_{n} - A)^{2} = I_{n} - 2 A + A^{2} = I_{n} - 2 A + A = I_{n} - A .$

La propriété $M^{2} = M$ passe donc de $A$ à $I_{n} - A$ : les deux sont des projecteurs.

L'inversibilité. Supposons $A$ inversible. En multipliant $A^{2} = A$ par $A^{- 1}$ à gauche :

$A^{- 1} A^{2} = A^{- 1} A, c’est- a ˋ -dire A = I_{n} .$

Réciproquement $I_{n}$ est inversible et vérifie bien $I_{n}^{2} = I_{n}$ .

Autrement dit, le seul projecteur inversible est l'identité. On le voit aussi sur le produit $A (I_{n} - A) = A - A^{2} = 0$ : si $A$ était inversible sans être $I_{n}$ , on aurait un produit nul avec un facteur inversible et l'autre non nul, ce qui est impossible.

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