Un second membre littéral, et un inverse

Résolution. Additionnons les trois équations : chaque inconnue y apparaît exactement deux fois, donc $$2(x+y+z)=a+b+c,\text{soit}x+y+z=\frac{a+b+c}{2}.$$ Il ne reste qu'à retrancher chacune des trois équations de départ : $$z=\frac{a+b+c}{2}-a=\frac{-a+b+c}{2},x=\frac{a+b+c}{2}-b=\frac{a-b+c}{2},y=\frac{a+b+c}{2}-c=\frac{a+b-c}{2}.$$ Le système a donc, pour tout second membre, une solution et une seule.

Contrôle. $x+y=\frac{a-b+c}{2}+\frac{a+b-c}{2}=\frac{2a}{2}=a$ : la première équation est bien satisfaite ; les deux autres se vérifient de même.

L'inverse. Le système s'écrit $AX=Y$ avec $X={}^t(x,y,z)$ et $Y={}^t(a,b,c)$. Pour tout $Y$, il admet une unique solution $X$, donnée par des formules linéaires en $a$, $b$, $c$ : $A$ est donc inversible et $X=A^{-1}Y$, la matrice $A^{-1}$ se lisant sur les coefficients obtenus, $$A^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 1& 1& -1\\ -1& 1& 1\end{array}\right).$$