Un système à deux inconnues

Le pivot. Échangeons les deux lignes pour placer un coefficient $1$ en tête — un échange de lignes est une opération élémentaire, il ne change pas l'ensemble des solutions : $$\{\begin{array}{l}x-y=1\\ 2x+3y=7\end{array}$$ Puis $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ : $$2x+3y-2(x-y)=7-2⟹5y=5.$$ Le système devient $$\{\begin{array}{l}x-y=1\\ 5y=5\end{array}$$

Remontée. La seconde équation donne $y=1$, la première $x=1+y=2$. Le système a donc une unique solution, $(x,y)=(2,1)$.

Vérification. $2\times 2+3\times 1=7$ et $2-1=1$ : les deux équations de départ sont satisfaites. La vérification n'est pas facultative, c'est elle qui détecte une erreur de calcul dans le pivot.

Une lecture matricielle. Le système s'écrit $AX=Y$ avec $A=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& -1\end{array}\right)$ ; son déterminant vaut $2\times (-1)-3\times 1=-5\ne 0$, ce qui confirme qu'il y a une solution et une seule.