Un système à deux inconnues

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 2 — Calcul matriciel et systèmes linéaires · Systèmes linéaires

Énoncé

Résoudre ${2 x + 3 y = 7 x - y = 1$ par le pivot, puis vérifier la solution.

Corrigé

Le pivot. Échangeons les deux lignes pour placer un coefficient $1$ en tête — un échange de lignes est une opération élémentaire, il ne change pas l'ensemble des solutions : ${x - y = 1 2 x + 3 y = 7$ Puis $L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1}$ : $2 x + 3 y - 2 (x - y) = 7 - 2 ⟹ 5 y = 5.$ Le système devient ${x - y = 1 5 y = 5$

Remontée. La seconde équation donne $y = 1$ , la première $x = 1 + y = 2$ . Le système a donc une unique solution, $(x, y) = (2, 1)$ .

Vérification. $2 \times 2 + 3 \times 1 = 7$ et $2 - 1 = 1$ : les deux équations de départ sont satisfaites. La vérification n'est pas facultative, c'est elle qui détecte une erreur de calcul dans le pivot.

Une lecture matricielle. Le système s'écrit $A X = Y$ avec $A = (21 3 - 1)$ ; son déterminant vaut $2 \times (- 1) - 3 \times 1 = - 5 \neq = 0$ , ce qui confirme qu'il y a une solution et une seule.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.