Un système homogène et ses solutions

Exercice · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 2 — Calcul matriciel et systèmes linéaires · Systèmes linéaires et pivot

Énoncé

Résoudre le système homogène ${x + y - z + t = 0 2 x + y + z - t = 0$ puis décrire l'ensemble de ses solutions à l'aide de deux colonnes fixes. Vérifier que la somme de deux solutions est encore solution.

Corrigé

Le pivot. $L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1}$ donne $- y + 3 z - 3 t = 0$ , soit $y = 3 z - 3 t$ . En reportant dans $L_{1}$ : $x = - y + z - t = - 2 z + 2 t$ . Les inconnues $z$ et $t$ restent libres.

L'ensemble des solutions. Pour tous réels $z$ et $t$ : $x y z t = z - 2 310 + t 2 - 3 01 .$ On vérifie que chacune de ces deux colonnes est bien solution, donc toutes celles qu'elles engendrent le sont aussi.

La stabilité par somme. Le système s'écrit $A X = 0$ . Si $A X = 0$ et $A X^{'} = 0$ , alors, par distributivité du produit matriciel, $A (X + X^{'}) = A X + A X^{'} = 0$ ; de même $A (λ X) = λ A X = 0$ .

Le point à retenir. Quatre inconnues, deux équations indépendantes : deux paramètres libres. L'ensemble des solutions d'un système homogène est stable par somme et par multiple — c'est ce qui permet de le décrire par un petit nombre de colonnes, au lieu de l'énumérer.

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