Un système homogène qui n'a pas toujours que zéro

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 2 — Calcul matriciel et systèmes linéaires · Systèmes linéaires et pivot

Énoncé

Pour quelles valeurs du réel $m$ le système homogène $⎩ ⎨ ⎧ x + y + z = 0 x + m y + z = 0 x + y + m z = 0$ a-t-il des solutions autres que $(0, 0, 0)$ ? Décrire alors l'ensemble des solutions.

Corrigé

Le pivot. Retranchons $L_{1}$ aux deux autres lignes : $L_{2} - L_{1} : (m - 1) y = 0, L_{3} - L_{1} : (m - 1) z = 0.$ Le système équivaut donc à : $x + y + z = 0$ , $(m - 1) y = 0$ , $(m - 1) z = 0$ .

Cas $m \neq = 1$ . Alors $m - 1 \neq = 0$ , donc $y = 0$ et $z = 0$ , puis la première équation donne $x = 0$ . La seule solution est $(0, 0, 0)$ : un système homogène en a toujours au moins celle-là, dite solution triviale.

Cas $m = 1$ . Les deux dernières équations deviennent $0 = 0$ et disparaissent : le système se réduit à l'unique équation $x + y + z = 0$ . On prend $y = s$ et $z = t$ comme paramètres, d'où $x = - s - t$ et $S = {(- s - t, s, t) : (s, t) \in R^{2}} = ⎩ ⎨ ⎧ s - 1 10 + t - 1 01 : (s, t) \in R^{2} ⎭ ⎬ ⎫ .$

Conclusion. Le système a des solutions non nulles si et seulement si $m = 1$ ; elles forment alors l'ensemble décrit ci-dessus, engendré par deux colonnes fixes.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.