Un système qui n'a pas une seule solution

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 2 — Calcul matriciel et systèmes linéaires · Systèmes linéaires et pivot

Énoncé

Résoudre par le pivot : $⎩ ⎨ ⎧ x + 2 y - z = 1 2 x - y + z = 3 x - 3 y + 2 z = 2$

Corrigé

Le pivot donne, après $L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1}$ et $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1}$ :

$⎩ ⎨ ⎧ x + 2 y - z = 1 - 5 y + 3 z = 1 - 5 y + 3 z = 1$

Les deux dernières lignes sont identiques : la troisième équation n'apporte rien. De fait $L_{3} = L_{2} - L_{1}$ dans le système de départ — les trois équations ne sont que deux.

Le rang vaut donc $2$ , et aucune ligne $0 = c$ avec $c \neq = 0$ n'apparaît : le système est compatible et a une infinité de solutions. En prenant $z = t$ comme inconnue libre :

$y = \frac{3 t - 1}{5}, x = 1 - 2 y + t = \frac{7 - t}{5}, t \in R .$

L'ensemble des solutions est la droite ${(\frac{7 - t}{5}, \frac{3 t - 1}{5}, t), t \in R}$ .

Ce n'est pas un accident : un système linéaire réel a zéro, une ou une infinité de solutions, jamais deux. Ici le déterminant est nul, donc « une seule » était exclu d'avance ; restait à trancher entre les deux autres, et c'est la compatibilité qui l'a fait.

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