Un système sans aucune solution

Le pivot. Additionnons les deux premières équations : $$(x+y)+(y+z)=1+2⟹x+2y+z=3.$$ Or la troisième équation affirme $x+2y+z=4$. En retranchant $L_3\leftarrow L_3-L_1-L_2$, on obtient $$0=1.$$

Conclusion. Le système transformé contient une équation de la forme $0=c$ avec $c\ne 0$, qui n'est vérifiée par aucun triplet. Comme les opérations élémentaires conservent l'ensemble des solutions, le système de départ n'a aucune solution : il est incompatible.

Comment le voir sans calcul. Le premier membre de $L_3$ est exactement la somme des premiers membres de $L_1$ et $L_2$. Pour que le système soit compatible, il faudrait que le second membre suive la même règle, c'est-à-dire que la troisième constante vaille $1+2=3$. Elle vaut $4$ : la contradiction est inscrite dans les données.

À retenir. Un système linéaire a zéro, une, ou une infinité de solutions, jamais autre chose. Une ligne « $0=c$ » avec $c\ne 0$ tue le système ; une ligne « $0=0$ » libère au contraire une inconnue.