Une famille de matrices stable par produit

Le déterminant. $\det M(a,b)=a\times a-(-b)\times b=a^2+b^2$. C'est une somme de deux carrés de réels : elle est nulle si et seulement si $a=0$ et $b=0$. Donc pour $(a,b)\ne (0,0)$ on a $\det M(a,b)>0$, et le critère d'inversibilité en ordre $2$ s'applique : $M(a,b)$ est inversible.

L'inverse. La formule du cours donne $$M(a,b{)}^{-1}=\frac{1}{a^2+b^2}\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)=M\left(\frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2}\right),$$ qui est bien de la forme voulue : la famille est stable par passage à l'inverse.

Le produit. $$M(a,b)M(c,d)=\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}c& -d\\ d& c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}ac-bd& -ad-bc\\ bc+ad& -bd+ac\end{array}\right)=M(ac-bd,ad+bc).$$ Les deux coefficients diagonaux sont bien égaux ($ac-bd$), et les deux autres opposés : le produit est de la forme $M(\cdot ,\cdot )$.

Une conséquence à ne pas manquer. Le calcul montre aussi $M(a,b)M(c,d)=M(c,d)M(a,b)$, puisque $ac-bd$ et $ad+bc$ sont symétriques en l'échange des deux couples. Ces matrices commutent entre elles, ce qui est rare : le produit matriciel ne l'est pas en général.

Enfin, en passant au déterminant sur l'égalité du produit : $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd{)}^2+(ad+bc{)}^2$, une identité qu'on aurait eu du mal à deviner sans les matrices.