Une récurrence linéaire, matriciellement

Calcul matriciel et systèmes linéaires · Puissances et suites récurrentes · niveau 2

Énoncé

On considère la suite définie par $u_{0} = 1$ , $u_{1} = 2$ et $u_{n + 2} = 3 u_{n + 1} - 2 u_{n}$ . Écrire la relation sous forme matricielle $X_{n + 1} = A X_{n}$ , puis calculer $A^{n}$ en cherchant une relation du type $A^{2} = α A + β I_{2}$ .

Corrigé

En posant $X_{n} = (u_{n + 1} u_{n})$ , la récurrence s'écrit

$X_{n + 1} = (31 - 2 0) X_{n}, donc X_{n} = A^{n} X_{0}, X_{0} = (21) .$

La relation cherchée. $A^{2} = (73 - 6 - 2)$ , et l'on vérifie que $3 A - 2 I_{2} = (73 - 6 - 2)$ : donc $A^{2} = 3 A - 2 I_{2}$ . Le polynôme $x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2)$ s'annule en $A$ ; ses racines $1$ et $2$ sont exactement celles de l'équation caractéristique de la récurrence.

Les puissances. Cette relation permet d'écrire $A^{n} = a_{n} A + b_{n} I_{2}$ pour tout $n$ , et en évaluant en $1$ et $2$ (les racines) : $1 = a_{n} + b_{n}$ et $2^{n} = 2 a_{n} + b_{n}$ , d'où $a_{n} = 2^{n} - 1$ et $b_{n} = 2 - 2^{n}$ :

$A^{n} = (2^{n} - 1) A + (2 - 2^{n}) I_{2} .$

Et la suite. On lit alors $u_{n} = 2^{n}$ , ce que la récurrence confirme : $3 \cdot 2^{n + 1} - 2 \cdot 2^{n} = 2^{n + 2}$ , et $u_{0} = 1$ , $u_{1} = 2$ .

Énoncé

Corrigé

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