Une relation entre $A^{2}$ , $A$ et $I_{2}$

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 2 — Calcul matriciel et systèmes linéaires · Puissances et polynômes annulateurs

Énoncé

Soit $A = (1322)$ . Calculer $A^{2}$ et vérifier que $A^{2} = 3 A + 4 I_{2}$ . En déduire que $A$ est inversible et calculer $A^{- 1}$ . Montrer enfin qu'il existe des réels $a_{n}$ , $b_{n}$ tels que $A^{n} = a_{n} A + b_{n} I_{2}$ , donner les relations liant $a_{n + 1}, b_{n + 1}$ à $a_{n}, b_{n}$ , et calculer $A^{4}$ .

Corrigé

Le carré. $A^{2} = (1322) (1322) = (1 + 6 3 + 6 2 + 4 6 + 4) = (79610) .$ Or $3 A + 4 I_{2} = (3 + 4 9 6 6 + 4) = (79610)$ : l'égalité $A^{2} = 3 A + 4 I_{2}$ est vérifiée.

L'inverse. Réécrivons la relation : $A^{2} - 3 A = 4 I_{2}$ , c'est-à-dire $A (A - 3 I_{2}) = 4 I_{2}$ , et le même calcul en plaçant $A$ à droite donne la même chose. Donc $A$ est inversible et $A^{- 1} = \frac{1}{4} (A - 3 I_{2}) = \frac{1}{4} (- 2 3 2 - 1) .$ Contrôle : $det A = 1 \times 2 - 2 \times 3 = - 4 \neq = 0$ , et la formule d'ordre $2$ redonne la même matrice.

Les puissances. Montrons par récurrence qu'il existe $a_{n}, b_{n}$ réels avec $A^{n} = a_{n} A + b_{n} I_{2}$ . C'est vrai pour $n = 0$ ( $a_{0} = 0$ , $b_{0} = 1$ ). Si c'est vrai au rang $n$ , alors, en utilisant $A^{2} = 3 A + 4 I_{2}$ : $A^{n + 1} = A^{n} A = (a_{n} A + b_{n} I_{2}) A = a_{n} A^{2} + b_{n} A = a_{n} (3 A + 4 I_{2}) + b_{n} A = (3 a_{n} + b_{n}) A + 4 a_{n} I_{2} .$ D'où $a_{n + 1} = 3 a_{n} + b_{n}$ et $b_{n + 1} = 4 a_{n}$ .

Calcul. De $(a_{0}, b_{0}) = (0, 1)$ on tire $(a_{1}, b_{1}) = (1, 0)$ , puis $(a_{2}, b_{2}) = (3, 4)$ , $(a_{3}, b_{3}) = (13, 12)$ , $(a_{4}, b_{4}) = (51, 52)$ . Donc $A^{4} = 51 A + 52 I_{2} = (103153102154) .$

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Une relation entre A2, A et I2​

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