Une relation vérifiée par toute matrice d'ordre 2

Le calcul. D'une part $$A^2=\left(\begin{array}{cc}{a}^2+bc& ab+bd\\ ca+dc& cb+d^2\end{array}\right),$$ d'autre part $$(a+d)A=\left(\begin{array}{cc}{a}^2+ad& ab+db\\ ac+dc& ad+d^2\end{array}\right).$$ En soustrayant, les coefficients hors diagonale se compensent exactement ($ab+bd$ contre $ab+db$, $ca+dc$ contre $ac+dc$), et il reste $$A^2-(a+d)A=\left(\begin{array}{cc}bc-ad& 0\\ 0& cb-ad\end{array}\right)=-(ad-bc)I_2.$$ D'où $A^2-(a+d)A+(ad-bc)I_2=0$.

L'inverse. Notons $\delta =\det A=ad-bc$ et supposons $\delta \ne 0$. La relation se réécrit $$A((a+d)I_2-A)=\delta I_2,$$ et le même calcul en plaçant $A$ à droite donne la même chose. Donc $$A^{-1}=\frac{1}{\delta }((a+d)I_2-A).$$

On retrouve la formule du cours. En effet $$(a+d)I_2-A=\left(\begin{array}{cc}a+d-a& -b\\ -c& a+d-d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right),$$ donc $$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right).$$

Ce que cela apporte. La relation obtenue est un polynôme annulateur de $A$ : elle exprime $A^2$ en fonction de $A$ et $I_2$, et permet donc de calculer toutes les puissances de $A$ sans jamais multiplier deux matrices — chaque puissance s'écrit $a_{n}A+b_n{I}_2$. Elle donne aussi l'inverse gratuitement, dès que le déterminant est non nul.