Une somme géométrique de matrices

Exercice · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 2 — Calcul matriciel et systèmes linéaires · Inversibilité et déterminant d'ordre 2

Énoncé

Soit $A$ telle que $A^{3} = 0$ . Montrer que $I_{n} - A$ est inversible et exprimer son inverse. (Penser à une somme géométrique.)

Corrigé

Développons le produit, en n'utilisant que la distributivité (aucune commutation n'est requise, $A$ commute avec elle-même) :

$(I_{n} - A) (I_{n} + A + A^{2}) = I_{n} + A + A^{2} - A - A^{2} - A^{3} = I_{n} - A^{3} = I_{n} .$

Le même calcul dans l'autre ordre donne $(I_{n} + A + A^{2}) (I_{n} - A) = I_{n}$ .

Donc $I_{n} - A$ est inversible et $(I_{n} - A)^{- 1} = I_{n} + A + A^{2}$ .

C'est la somme géométrique $\frac{1}{1 - a} = 1 + a + a^{2} + \dots$ , qui devient finie — et donc licite sans aucune question de convergence — dès que $A$ est nilpotente. Si $A^{k} = 0$ , la même identité donne $(I_{n} - A)^{- 1} = I_{n} + A + \dots + A^{k - 1}$ .

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