Arithmétique, géométrique, ou ni l'une ni l'autre

La suite $(u_n)$. Calculons la différence de deux termes consécutifs : $$u_{n+1}-u_n=3(n+1)+2-(3n+2)=3.$$ Cette différence est constante : la suite est arithmétique, de raison $3$ et de premier terme $u_0=2$. Son terme général est celui de l'énoncé, $u_n=2+3n$, conforme à la forme $u_0+nr$.

La suite $(v_n)$. Chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par $2$ : la suite est géométrique, de raison $q=2$ et de premier terme $v_0=5$. Donc $$v_n=5\times 2^n.$$

La suite $(w_n)$. La différence vaut $w_{n+1}-w_n=(n+1{)}^2-n^2=2n+1$ : elle dépend de $n$, la suite n'est donc pas arithmétique. Le quotient vaut $\frac{w_{n+1}}{w_n}=\frac{(n+1{)}^2}{n^2}={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^2$ pour $n\ge 1$ : il dépend aussi de $n$, la suite n'est donc pas géométrique. Elle n'est ni l'une ni l'autre.

La méthode. Pour trancher, on teste la différence (arithmétique) puis le quotient (géométrique) de deux termes consécutifs. Il ne suffit pas de vérifier sur deux ou trois valeurs : c'est le calcul général qui décide.