Chaque terme est la moyenne des deux précédents

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 4 — Suites de nombres réels · Suites arithmético-géométriques et récurrences d'ordre 2

Énoncé

Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 1$ , $u_{1} = 2$ et $u_{n + 2} = \frac{u _{n + 1} + u _{n}}{2}$ . Donner l'expression de $u_{n}$ et sa limite. Cette limite dépend-elle de $u_{0}$ et $u_{1}$ ? Si oui, comment ?

Corrigé

L'équation caractéristique. La relation s'écrit $u_{n + 2} = \frac{1}{2} u_{n + 1} + \frac{1}{2} u_{n}$ , donc l'équation est $r^{2} = \frac{1}{2} r + \frac{1}{2}, soit 2 r^{2} - r - 1 = 0.$ Son discriminant vaut $1 + 8 = 9 > 0$ , ses racines $r = \frac{1 \pm 3}{4}$ , c'est-à-dire $r_{1} = 1$ et $r_{2} = - \frac{1}{2}$ . Elles sont réelles et distinctes.

La forme générale. D'après le théorème du cours, il existe deux réels $A$ et $B$ tels que $u_{n} = A \times 1^{n} + B (- \frac{1}{2})^{n} = A + B (- \frac{1}{2})^{n} .$

Les constantes. Les conditions initiales donnent ${A + B = 1 A - \frac{B}{2} = 2$ En retranchant, $\frac{3}{2} B = - 1$ , donc $B = - \frac{2}{3}$ puis $A = \frac{5}{3}$ . Ainsi $u_{n} = \frac{5}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{1}{2})^{n} .$

La limite. $- \frac{1}{2} < 1$ donc $(- \frac{1}{2})^{n} \to 0$ et $u_{n} ⟶ \frac{5}{3} .$

La dépendance aux conditions initiales. Reprenons le calcul avec $u_{0}$ et $u_{1}$ quelconques : $A + B = u_{0}$ et $A - \frac{B}{2} = u_{1}$ donnent $\frac{3}{2} B = u_{0} - u_{1}$ , puis $A = u_{0} - B = u_{0} - \frac{2 ( u _{0} - u _{1} )}{3} = \frac{u _{0} + 2 u _{1}}{3} .$ La limite est donc $\frac{u _{0} + 2 u _{1}}{3}$ : elle dépend bien du départ, et c'est une moyenne pondérée des deux premiers termes, le second comptant double. Sur l'exemple, $\frac{1 + 4}{3} = \frac{5}{3}$ , ce qui confirme le calcul.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.