Compter les termes d'une somme géométrique

La première. Somme géométrique de raison $q=\frac{1}{2}$, de premier terme ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}$, comptant $n-3+1=n-2$ termes : $$S_n=\frac{1}{8}\times \frac{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-2}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}\left(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-2}\right).$$ Contrôle au rang $n=3$ : $\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{8}$, qui est bien l'unique terme. Comme $\left|\frac{1}{2}\right|<1$, on a ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-2}\to 0$, donc $S_n\to \frac{1}{4}$.

La seconde. Raison $q=-\frac{1}{2}$, premier terme $1$, et $n+1$ termes : $$T_n=\frac{1-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n+1}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}\left(1-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n+1}\right).$$ Contrôle au rang $n=0$ : $\frac{2}{3}\times \frac{3}{2}=1$. Comme $\left|-\frac{1}{2}\right|<1$, $T_n\to \frac{2}{3}$.

Le point à retenir. « Premier terme $\times \frac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}$ » : cette écriture rend le compte visible. De $k=3$ à $k=n$ il y a $n-2$ termes, et non $n-3$. La formule ne demande que $q\ne 1$ ; la limite, elle, demande $|q|<1$ — une raison négative est permise dans les deux cas.