Croissante, majorée, donc convergente

Exercice · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 4 — Suites de nombres réels · Convergence : monotonie, adjacence et seuils

Énoncé

Soit $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = 2 + u_{n}$ . Montrer que $(u_{n})$ est croissante et majorée par $2$ , puis déterminer sa limite. Où le théorème de la limite monotone intervient-il exactement ?

Corrigé

Majoration. Par récurrence : $u_{0} = 1 \leq 2$ ; et si $u_{n} \leq 2$ alors $u_{n + 1} = 2 + u_{n} \leq 4 = 2$ . Au passage, tous les termes sont positifs, donc la racine a bien un sens.

Croissance. Comme $0 \leq u_{n} \leq 2$ ,

$u_{n + 1}^{2} - u_{n}^{2} = 2 + u_{n} - u_{n}^{2} = - (u_{n} - 2) (u_{n} + 1) \geq 0,$

et les deux termes étant positifs, $u_{n + 1} \geq u_{n}$ .

Convergence. La suite est croissante et majorée : c'est ici, et seulement ici, qu'intervient le théorème de la limite monotone. Il affirme l'existence d'une limite finie $ℓ$ , sans la donner. C'est ce qui autorise l'étape suivante.

Valeur. On passe alors à la limite dans la relation, licite parce que $x \mapsto 2 + x$ est continue : $ℓ = 2 + ℓ$ , donc $ℓ^{2} - ℓ - 2 = 0$ , de racines $2$ et $- 1$ . Comme $ℓ \geq u_{0} = 1 > 0$ , on conclut $ℓ = 2$ .

Sans le théorème, écrire « $ℓ = 2 + ℓ$ » serait illégitime : on parlerait d'un $ℓ$ dont rien ne garantirait l'existence.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.