Croissante, majorée, donc convergente

Majoration. Par récurrence : $u_0=1\le 2$ ; et si $u_n\le 2$ alors $u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}\le \sqrt{4}=2$. Au passage, tous les termes sont positifs, donc la racine a bien un sens.

Croissance. Comme $0\le u_n\le 2$,

$$u_{n+1}^2-u_n^2=2+u_n-u_n^2=-(u_n-2)(u_n+1)\ge 0,$$

et les deux termes étant positifs, $u_{n+1}\ge u_n$.

Convergence. La suite est croissante et majorée : c'est ici, et seulement ici, qu'intervient le théorème de la limite monotone. Il affirme l'existence d'une limite finie $\ell$, sans la donner. C'est ce qui autorise l'étape suivante.

Valeur. On passe alors à la limite dans la relation, licite parce que $x\mapsto \sqrt{2+x}$ est continue : $\ell =\sqrt{2+\ell }$, donc ${\ell }^2-\ell -2=0$, de racines $2$ et $-1$. Comme $\ell \ge u_0=1>0$, on conclut $\ell =2$.

Sans le théorème, écrire « $\ell =\sqrt{2+\ell }$ » serait illégitime : on parlerait d'un $\ell$ dont rien ne garantirait l'existence.