Croissante, majorée, mais de limite inconnue

Croissance. Pour tout $n\ge 1$, $$u_{n+1}-u_n=\frac{1}{(n+1{)}^2}>0,$$ donc la suite est strictement croissante. C'est immédiat : on ajoute à chaque étape un terme strictement positif.

La majoration. Le point est de majorer $\frac{1}{k^2}$ par une quantité qui se télescope. Pour $k\ge 2$, on a $k^2>k(k-1)>0$, donc $$\frac{1}{k^2}\le \frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k},$$ la dernière égalité se vérifiant en réduisant au même dénominateur. En sommant de $k=2$ à $n$, la somme de droite se télescope : $$\sum _{k=2}^n\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)=1-\frac{1}{n}.$$ En ajoutant le terme d'indice $1$, qui vaut $1$ : $$u_n=1+\sum _{k=2}^n\frac{1}{k^2}\le 1+1-\frac{1}{n}=2-\frac{1}{n}\le 2.$$ (Pour $n=1$ la majoration se lit directement : $u_1=1=2-1$.)

Ce qu'on conclut. $(u_n)$ est croissante et majorée par $2$ : d'après le théorème de la limite monotone, elle converge, et sa limite $\ell$ vérifie $\ell \le 2$. Comme $u_1=1$ et que la suite croît, on a de plus $\ell \ge 1$.

Ce qu'on ne conclut pas. Le théorème donne l'existence de la limite, jamais sa valeur. Le majorant $2$ n'est pas la limite : ce n'est qu'une barre au-dessus de laquelle la suite ne passe pas. Le calcul numérique donne $u_{1000}\approx 1,64$, sensiblement en dessous.