Deux différences de racines

Le problème commun. Les deux suites sont de la forme « $+\infty -\infty$ » : les opérations sur les limites ne concluent pas. La méthode est la même dans les deux cas — multiplier et diviser par la quantité conjuguée, ce qui remplace une différence par un quotient.

La première suite. Pour $n\ge 1$, $\sqrt{n+1}+\sqrt{n}>0$, donc $$u_n=\frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}},$$ en utilisant l'identité $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Le dénominateur tend vers $+\infty$, donc $$u_n⟶0.$$

La seconde suite. Même geste, avec $\sqrt{n^2+n}+n>0$ : $$v_n=\frac{(n^2+n)-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n}=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}.$$ Ici le numérateur tend aussi vers $+\infty$ : il faut factoriser par le terme dominant. Comme $n>0$, $\sqrt{n^2+n}=n\sqrt{1+\frac{1}{n}}$, d'où $$v_n=\frac{n}{n\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1\right)}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}.$$ Or $\frac{1}{n}\to 0$, et la fonction racine étant continue en $1$, $\sqrt{1+\frac{1}{n}}\to 1$. Donc $$v_n⟶\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.$$