Deux sens de variation

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 4 — Suites de nombres réels · Limites et monotonie

Énoncé

Étudier le sens de variation de $u_{n} = \frac{n}{n + 1}$ pour $n \geq 0$ , puis celui de $v_{n} = \frac{2 ^{n}}{n !}$ pour $n \geq 0$ , en comparant $v_{n + 1}$ à $v_{n}$ .

Corrigé

La suite $(u_{n})$ . On calcule la différence : $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{n + 1}{n + 2} - \frac{n}{n + 1} = \frac{( n + 1 ) ^{2} - n ( n + 2 )}{( n + 1 ) ( n + 2 )} = \frac{n ^{2} + 2 n + 1 - n ^{2} - 2 n}{( n + 1 ) ( n + 2 )} = \frac{1}{( n + 1 ) ( n + 2 )} .$ Ce nombre est strictement positif pour $n \geq 0$ : la suite est strictement croissante. Elle est de plus majorée par $1$ , puisque $\frac{n}{n + 1} < 1$ , et elle tend vers $1$ .

La suite $(v_{n})$ . Les termes sont strictement positifs, on compare donc par quotient : $\frac{v _{n + 1}}{v _{n}} = \frac{2 ^{n + 1}}{( n + 1 )!} \times \frac{n !}{2 ^{n}} = \frac{2}{n + 1} .$

Ce quotient dépend de $n$ , et son comparaison à $1$ décide :

pour $n = 0$ : $\frac{2}{1} = 2 > 1$ , donc $v_{1} > v_{0}$ ;
pour $n = 1$ : $\frac{2}{2} = 1$ , donc $v_{2} = v_{1}$ ;
pour $n \geq 2$ : $\frac{2}{n + 1} < 1$ , donc $v_{n + 1} < v_{n}$ .

La suite croît puis décroît : elle n'est pas monotone. Les premières valeurs le confirment : $v_{0} = 1$ , $v_{1} = 2$ , $v_{2} = 2$ , $v_{3} = \frac{4}{3}$ , $v_{4} = \frac{2}{3}$ …

À retenir. On compare par différence quand les termes ont un signe quelconque, par quotient quand ils sont tous strictement positifs — et dans ce second cas, c'est à $1$ que l'on compare, jamais à $0$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.