Deux sens de variation

La suite $(u_n)$. On calcule la différence : $$u_{n+1}-u_n=\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}=\frac{(n+1{)}^2-n(n+2)}{(n+1)(n+2)}=\frac{n^2+2n+1-n^2-2n}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}.$$ Ce nombre est strictement positif pour $n\ge 0$ : la suite est strictement croissante. Elle est de plus majorée par $1$, puisque $\frac{n}{n+1}<1$, et elle tend vers $1$.

La suite $(v_n)$. Les termes sont strictement positifs, on compare donc par quotient : $$\frac{v_{n+1}}{v_n}=\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}\times \frac{n!}{2^n}=\frac{2}{n+1}.$$

Ce quotient dépend de $n$, et sa comparaison à $1$ décide :

• pour $n=0$ : $\frac{2}{1}=2>1$, donc $v_1>v_0$ ;
• pour $n=1$ : $\frac{2}{2}=1$, donc $v_2=v_1$ ;
• pour $n\ge 2$ : $\frac{2}{n+1}<1$, donc $v_{n+1}<v_n$.

La suite croît puis décroît : elle n'est pas monotone. Les premières valeurs le confirment : $v_0=1$, $v_1=2$, $v_2=2$, $v_3=\frac{4}{3}$, $v_4=\frac{2}{3}$…

À retenir. On compare par différence quand les termes ont un signe quelconque, par quotient quand ils sont tous strictement positifs — et dans ce second cas, c'est à $1$ que l'on compare, jamais à $0$.