Deux sommes à reconnaître

La première est géométrique, de raison $2$ :

$$\sum _{k=0}^{20}3\times 2^k=3\sum _{k=0}^{20}{2}^k=3\cdot \frac{2^{21}-1}{2-1}=3(2^{21}-1)=6291453.$$

La seconde est arithmétique. Elle compte $15-5+1=11$ termes. On peut séparer :

$$\sum _{k=5}^{15}(2+3k)=11\times 2+3\sum _{k=5}^{15}k=22+3\times \frac{(5+15)\times 11}{2}=22+330=352.$$

Ou, plus directement, « moyenne des extrêmes fois le nombre de termes » : $\frac{17+47}{2}\times 11=32\times 11=352$.

Les deux pièges habituels sont ici : compter les termes (de $5$ à $15$ il y en a $11$, pas $10$) et ne pas confondre la raison d'une géométrique avec la raison d'une arithmétique.