Deux sommes de référence

La somme géométrique. La raison est $2\ne 1$, et la somme compte $11$ termes (d'indices $0$ à $10$). La formule du cours donne $$\sum _{k=0}^{10}{2}^k=\frac{1-2^{11}}{1-2}=\frac{1-2048}{-1}=2047.$$

On peut le retenir autrement : la somme des puissances de $2$ jusqu'à $2^n$ vaut $2^{n+1}-1$. Ici $2^{11}-1=2047$.

La somme arithmétique. La formule du cours donne $$\sum _{k=1}^{50}k=\frac{50\times 51}{2}=25\times 51=1275.$$

Le contrôle sur le nombre de termes. C'est l'erreur la plus fréquente : la première somme a $11$ termes et non $10$, la seconde en a $50$ et non $51$. La règle est simple — de l'indice $a$ à l'indice $b$, il y a $b-a+1$ termes.

Une vérification à la main. Pour la seconde, on regroupe les termes deux par deux depuis les extrémités : $1+50=51$, $2+49=51$, et ainsi de suite. Il y a $25$ telles paires, d'où $25\times 51=1275$.