Deux suites adjacentes vers $e$

On travaille pour $n\ge 1$.

$(u_n)$ est croissante : $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{(n+1)!}>0$.

$(v_n)$ est décroissante. Calculons

$$v_{n+1}-v_n=\frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+1)(n+1)!}-\frac{1}{n\cdot n!}=\frac{1}{n!}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1{)}^2}-\frac{1}{n}\right).$$

En réduisant la parenthèse au dénominateur $n(n+1{)}^2$, le numérateur vaut $n(n+1)+n-(n+1{)}^2=n^2+2n-n^2-2n-1=-1$. Donc

$$v_{n+1}-v_n=\frac{-1}{n!n(n+1{)}^2}<0.$$

Leur différence tend vers $0$ : $v_n-u_n=\frac{1}{n\cdot n!}\to 0$.

Les trois conditions sont réunies : les suites sont adjacentes. Elles convergent donc vers une même limite $\ell$, et l'encadrement $u_n\le \ell \le v_n$ vaut à tout rang. Pour $n=5$ il donne déjà $2,716\dots \le \mathrm{e}\le 2,718\dots$ — le procédé n'est pas seulement théorique, il chiffre l'erreur.