Encadrer une somme dont le nombre de termes varie

L'encadrement de chaque terme. Pour $1\le k\le n$ : $n^2+1\le n^2+k\le n^2+n$. Ces trois nombres étant strictement positifs, le passage à l'inverse renverse les inégalités : $$\frac{1}{n^2+n}\le \frac{1}{n^2+k}\le \frac{1}{n^2+1}.$$

La somme des $n$ inégalités. En ajoutant ces encadrements pour $k=1,\dots ,n$ — il y a bien $n$ termes, et c'est ce facteur $n$ qui apparaît : $$\frac{n}{n^2+n}\le S_n\le \frac{n}{n^2+1}.$$

Les deux bornes. À gauche, $\frac{n}{n^2+n}=\frac{1}{n+1}\to 0$. À droite, $0\le \frac{n}{n^2+1}\le \frac{n}{n^2}=\frac{1}{n}\to 0$. Par le théorème d'encadrement, $S_n\to 0$.

Le point délicat. Chaque terme tend vers $0$, mais il y en a de plus en plus : les opérations sur les limites ne s'appliquent pas à une somme dont le nombre de termes varie. La somme ${\sum }_{k=1}^n\frac{1}{n}$ vaut $1$ pour tout $n$, et ses termes tendent pourtant vers $0$.

Le point à retenir. On n'encadre pas la somme : on encadre chaque terme, puis on ajoute les $n$ inégalités.