La factorielle contre la puissance

L'encadrement. Écrivons le quotient comme un produit de $n$ facteurs : $$\frac{n!}{n^n}=\frac{1\times 2\times \cdots \times n}{n\times n\times \cdots \times n}=\frac{1}{n}\times \frac{2}{n}\times \cdots \times \frac{n}{n}.$$ Chacun des facteurs $\frac{k}{n}$ vérifie $0<\frac{k}{n}\le 1$ pour $1\le k\le n$. En majorant tous les facteurs sauf le premier par $1$ — ce qui est licite, tous les facteurs étant positifs : $$0<\frac{n!}{n^n}\le \frac{1}{n}\times 1\times \cdots \times 1=\frac{1}{n}.$$

La limite. $\frac{1}{n}\to 0$ et la suite est minorée par $0$ : le théorème d'encadrement donne $$\frac{n!}{n^n}⟶0.$$

Le second point : le rapport de deux termes consécutifs. Posons $w_n=\frac{a^n}{n!}>0$. Alors $$\frac{w_{n+1}}{w_n}=\frac{a^{n+1}}{(n+1)!}\times \frac{n!}{a^n}=\frac{a}{n+1}.$$ Ce rapport tend vers $0$ : il finit donc par être petit. Précisément, choisissons un entier $N$ tel que $N+1\ge 2a$ ; alors pour tout $n\ge N$, $$\frac{w_{n+1}}{w_n}=\frac{a}{n+1}\le \frac{a}{N+1}\le \frac{1}{2},$$ donc $w_{n+1}\le \frac{1}{2}{w}_n$.

La conclusion. Une récurrence immédiate donne, pour tout $n\ge N$, $$0<w_n\le w_N{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-N}.$$ Le membre de droite est le terme général d'une suite géométrique de raison $\frac{1}{2}\in \left]-1,1\right[$ : il tend vers $0$. Par encadrement, $w_n\to 0$.