La suite de Héron vers $\sqrt{2}$

La suite est bien définie. Par récurrence, $u_n>0$ : c'est vrai au rang $0$, et si $u_n>0$ alors $u_{n+1}$ est une somme de nombres positifs divisée par $2$. Aucune division par zéro n'est à craindre.

La minoration. Pour tout $n\ge 0$ : $$u_{n+1}-\sqrt{2}=\frac{u_n^2-2\sqrt{2}{u}_n+2}{2u_n}=\frac{{\left(u_n-\sqrt{2}\right)}^2}{2u_n}\ge 0.$$ Donc $u_n\ge \sqrt{2}$ pour tout $n\ge 1$, et aussi au rang $0$ puisque $u_0=2\ge \sqrt{2}$.

La décroissance. $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{u_n}-u_n\right)=\frac{2-u_n^2}{2u_n}\le 0$, car $u_n^2\ge 2$ et $u_n>0$.

La convergence. Décroissante et minorée par $\sqrt{2}$, la suite converge, vers un réel $\ell \ge \sqrt{2}$ : c'est ici, et seulement ici, qu'intervient le théorème de la limite monotone. On peut alors passer à la limite dans la relation de récurrence — ce qui exige $\ell \ne 0$, garanti par $\ell \ge \sqrt{2}$ : $$\ell =\frac{1}{2}\left(\ell +\frac{2}{\ell }\right)⟺2{\ell }^2={\ell }^2+2⟺{\ell }^2=2,$$ donc $\ell =\sqrt{2}$.

Le point à retenir. L'ordre n'est pas négociable : d'abord établir que la limite existe, ensuite l'identifier comme point fixe. La convergence est ici très rapide — $u_3=\frac{577}{408}\approx 1,4142157$ donne déjà cinq décimales exactes.