Le multiplicateur keynésien

Après $n$ tours, la dépense cumulée est une somme géométrique de raison $c$ :

$$S_n=D+cD+c^{2}D+\cdots +c^{n}D=D\frac{1-c^{n+1}}{1-c}.$$

Limite. Comme $0<c<1$, on a $c^{n+1}\to 0$, donc

$$S_n\underset{n\to +\infty }{\to }\frac{D}{1-c}.$$

Le facteur $\frac{1}{1-c}$ est le multiplicateur.

Pour $c=0,8$ : $\frac{1}{1-0,8}=5$. Une dépense initiale de $1$ million engendre à terme $5$ millions de dépense totale.

Ce que dit le modèle, et ce qu'il ne dit pas. L'hypothèse $c<1$ est essentielle : une propension à consommer égale à $1$ ferait diverger la somme, et le modèle perdrait tout sens. La convergence est rapide — après $10$ tours on a déjà $89\%$ du total pour $c=0,8$ — mais elle suppose une chaîne d'effets sans frottement, sans délai et sans capacité de production limitée. C'est un ordre de grandeur, pas une prévision.