Partir de l'équilibre

Exercice · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 4 — Suites de nombres réels · Suites arithmético-géométriques et récurrences d'ordre 2

Énoncé

Soit $u_{0} = 5$ et $u_{n + 1} = 0, 4 u_{n} + 3$ . Déterminer $u_{n}$ puis sa limite. L'équilibre est-il attractif ou répulsif ?

Corrigé

Le point fixe vérifie $ℓ = 0, 4 ℓ + 3$ , soit $0, 6 ℓ = 3$ et $ℓ = 5$ .

Or $u_{0} = 5 = ℓ$ . La formule générale $u_{n} = ℓ + (u_{0} - ℓ) a^{n}$ donne alors

$u_{n} = 5 + 0 \times 0, 4^{n} = 5 pour tout n .$

La suite est constante, et sa limite vaut $5$ . On le voit aussi directement : $u_{1} = 0, 4 \times 5 + 3 = 5$ , et la récurrence reproduit indéfiniment la même valeur.

L'équilibre est attractif, car $∣ a ∣ = 0, 4 < 1$ : l'écart à l'équilibre est multiplié par $0, 4$ à chaque étape et s'efface. Partir ailleurs qu'en $5$ n'y changerait rien — depuis $u_{0} = 100$ on aurait $u_{n} = 5 + 95 \times 0, 4^{n} \to 5$ . Ici le départ a simplement été choisi sur l'équilibre : rien ne bouge, et c'est le cas limite qui définit ce qu'est un équilibre.

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