Quand l'équation caractéristique a une racine double

Exercice · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 4 — Suites de nombres réels · Suites arithmético-géométriques et récurrences d'ordre 2

Énoncé

Soit $u_{0} = 1$ , $u_{1} = 4$ et $u_{n + 2} = 4 u_{n + 1} - 4 u_{n}$ . Donner l'expression de $u_{n}$ , puis la limite de $u_{n} / 2^{n}$ .

Corrigé

L'équation caractéristique est $r^{2} = 4 r - 4$ , c'est-à-dire $r^{2} - 4 r + 4 = 0$ , soit $(r - 2)^{2} = 0$ : elle a la racine double $r = 2$ . Le cours donne alors la forme $u_{n} = (λ + μ n) 2^{n} .$

Les constantes. $u_{0} = λ = 1$ . Puis $u_{1} = (1 + μ) \times 2 = 4$ donne $μ = 1$ . Donc $u_{n} = (n + 1) 2^{n} .$

Vérification. $u_{2} = 3 \times 4 = 12$ et $4 \times 4 - 4 \times 1 = 12$ ; $u_{3} = 4 \times 8 = 32$ et $4 \times 12 - 4 \times 4 = 32$ .

La limite. $\frac{u _{n}}{2 ^{n}} = n + 1 ⟶ + \infty$ : la suite croît strictement plus vite que la géométrique de raison $2$ .

Le point à retenir. Le facteur $n$ n'est pas une décoration. Sans lui, $u_{n} = λ 2^{n}$ n'offrirait qu'une constante pour deux conditions initiales, et ne pourrait pas les satisfaire toutes deux. Racines distinctes : deux géométriques ; racine double : une géométrique et sa version multipliée par $n$ — dans les deux cas, deux constantes pour deux données.

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