Trois croissances comparées

Le principe. Le cours admet la hiérarchie suivante, valable quand $n\to +\infty$ : toute puissance de $n$ l'emporte sur $\ln n$, et $q^n$ l'emporte sur toute puissance de $n$ dès que $q>1$. Autrement dit, le quotient $\frac{\ln n}{n^{\alpha }}$ tend vers $0$ pour $\alpha >0$, et $\frac{n^{\alpha }}{q^n}$ aussi pour $q>1$. Toute la difficulté est de reconnaître laquelle des trois croissances domine.

Première limite. $\frac{\ln n}{n}\to 0$ : c'est le premier étage de la hiérarchie, $\ln n$ contre $n$. À titre de contrôle, $\frac{\ln 1000}{1000}\approx 0,0069$.

Deuxième limite. $\frac{n^{10}}{1,5^n}\to 0$ : l'exponentielle $1,5^n$, de base $>1$, l'emporte sur $n^{10}$, si grand que soit l'exposant. La convergence est lente au début — le quotient croît jusqu'à $n\approx 25$ avant de s'effondrer — mais la limite ne se lit pas sur les premières valeurs.

Troisième limite. Ici $0,9<1$, donc $0,9^n\to 0$ : les deux facteurs ne tirent pas en sens contraire de la même façon. Écrivons $$n^2\times 0,9^n=\frac{n^2}{{\left(\frac{1}{0,9}\right)}^n}=\frac{n^2}{{\left(1,111\dots \right)}^n},$$ et l'on retrouve le cas précédent avec la base $\frac{1}{0,9}>1$ : la limite est $0$.