Trois croissances comparées

Exercice · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 4 — Suites de nombres réels · Limites et croissances comparées

Énoncé

Déterminer les limites de $\frac{n ^{3}}{2 ^{n}}$ , $\frac{( ln n ) ^{5}}{n}$ , $\frac{2 ^{n}}{n !}$ . (Pour la dernière, comparer $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ à $\frac{1}{2}$ .)

Corrigé

Les trois tendent vers $0$ , et chacune illustre un étage de la hiérarchie $(ln n)^{b} ≪ n^{a} ≪ q^{n} ≪ n!$ .

$\frac{n ^{3}}{2 ^{n}} \to 0$ : l'exponentielle $2^{n}$ l'emporte sur toute puissance de $n$ , si grand soit l'exposant.

$\frac{( ln n ) ^{5}}{n} \to 0$ : le logarithme, même à la puissance $5$ , perd contre $n$ .

$\frac{2 ^{n}}{n !} \to 0$ : posons $u_{n} = \frac{2 ^{n}}{n !} > 0$ . Alors

$\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{2}{n + 1} \leq \frac{1}{2} d e ˋ s que n \geq 3.$

Donc pour $n \geq 3$ , $0 < u_{n} \leq u_{3} (\frac{1}{2})^{n - 3}$ , majorant qui tend vers $0$ . Le théorème d'encadrement conclut.

C'est le bon réflexe pour une suite de termes positifs définie par des produits : regarder le rapport de deux termes consécutifs plutôt que le terme lui-même.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.