Trois limites de quotients

La suite $(u_n)$. Numérateur et dénominateur tendent vers $+\infty$ : c'est une forme indéterminée. On factorise par le terme dominant, ici $n$, au numérateur et au dénominateur : $$u_n=\frac{n\left(1+\frac{1}{n}\right)}{n\left(2+\frac{3}{n}\right)}=\frac{1+\frac{1}{n}}{2+\frac{3}{n}}.$$ Comme $\frac{1}{n}\to 0$ et $\frac{3}{n}\to 0$, les opérations sur les limites donnent $u_n\to \frac{1}{2}$.

La suite $(v_n)$. Même méthode, le terme dominant du numérateur étant $n^2$ : $$v_n=\frac{n^2\left(1-\frac{3}{n^2}\right)}{n\left(1+\frac{5}{n}\right)}=n\times \frac{1-\frac{3}{n^2}}{1+\frac{5}{n}}.$$ Le quotient tend vers $1$ et le facteur $n$ vers $+\infty$, donc $v_n\to +\infty$.

La suite $(w_n)$. Le numérateur n'a pas de limite : il vaut alternativement $1$ et $-1$. On encadre plutôt : $$-\frac{1}{n}\le \frac{(-1{)}^n}{n}\le \frac{1}{n},$$ puisque $|(-1{)}^n|=1$. Les deux bornes tendent vers $0$, donc par le théorème d'encadrement $w_n\to 0$.

À retenir. Devant un quotient de polynômes en $n$, on factorise par la plus haute puissance de chaque terme : le rapport des termes dominants décide. Devant un facteur qui oscille, on encadre en valeur absolue — l'oscillation ne gêne pas tant qu'elle est bornée et que l'autre facteur tend vers $0$.