Un écart qui s'élève au carré

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 4 — Suites de nombres réels · Convergence et suites récurrentes

Énoncé

Soit $u_{0} \in] 0, 1 [$ et $u_{n + 1} = u_{n} (2 - u_{n})$ . Montrer que $1 - u_{n + 1} = (1 - u_{n})^{2}$ . En déduire que $u_{n} \in] 0, 1 [$ pour tout $n$ , que la suite est croissante, et déterminer sa limite.

Corrigé

La relation clé. Développons : $1 - u_{n + 1} = 1 - 2 u_{n} + u_{n}^{2} = (1 - u_{n})^{2} .$ Posons $a_{n} = 1 - u_{n}$ : la relation devient $a_{n + 1} = a_{n}^{2}$ , une récurrence bien plus simple que celle de départ.

Les valeurs restent dans $] 0, 1 [$ . Montrons par récurrence que $a_{n} \in] 0, 1 [$ . C'est vrai pour $n = 0$ , car $u_{0} \in] 0, 1 [$ donne $a_{0} = 1 - u_{0} \in] 0, 1 [$ . Si $a_{n} \in] 0, 1 [$ , alors $a_{n + 1} = a_{n}^{2}$ est strictement positif (carré d'un nombre non nul) et strictement inférieur à $1$ (car $a_{n} < 1$ et $a_{n} > 0$ donnent $a_{n}^{2} < a_{n} < 1$ ). Donc $a_{n} \in] 0, 1 [$ pour tout $n$ , c'est-à-dire $u_{n} = 1 - a_{n} \in] 0, 1 [$ .

Croissance. $u_{n + 1} - u_{n} = u_{n} (2 - u_{n}) - u_{n} = u_{n} (1 - u_{n})$ . Les deux facteurs sont strictement positifs d'après le point précédent, donc $u_{n + 1} > u_{n}$ : la suite est strictement croissante.

L'expression de $a_{n}$ . De $a_{n + 1} = a_{n}^{2}$ on tire par récurrence $a_{n} = a_{0}^{2^{n}} .$ (Initialisation : $a_{0} = a_{0}^{2^{0}}$ . Hérédité : $a_{n + 1} = (a_{0}^{2^{n}})^{2} = a_{0}^{2^{n + 1}}$ .)

La limite. Comme $0 < a_{0} < 1$ , on a $ln a_{0} < 0$ , donc $a_{n} = e^{2^{n} l n a_{0}} ⟶ 0,$ puisque $2^{n} \to + \infty$ et $ln a_{0} < 0$ donnent $2^{n} ln a_{0} \to - \infty$ , et que $e^{x} \to 0$ quand $x \to - \infty$ . Par conséquent $u_{n} = 1 - a_{n} ⟶ 1.$

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.