Un équilibre atteint en oscillant

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 4 — Suites de nombres réels · Suites arithmético-géométriques et récurrences d'ordre 2

Énoncé

Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 0$ et $u_{n + 1} = - \frac{1}{2} u_{n} + 3$ . Exprimer $u_{n}$ , déterminer sa limite, et montrer que les termes sont alternativement inférieurs et supérieurs à cette limite.

Corrigé

Le point fixe. On résout $ℓ = - \frac{1}{2} ℓ + 3$ , soit $\frac{3}{2} ℓ = 3$ et $ℓ = 2$ .

L'expression. Posons $v_{n} = u_{n} - 2$ . Alors $v_{n + 1} = u_{n + 1} - 2 = - \frac{1}{2} u_{n} + 3 - (- \frac{1}{2} \times 2 + 3) = - \frac{1}{2} (u_{n} - 2) = - \frac{1}{2} v_{n} .$ $(v_{n})$ est géométrique de raison $- \frac{1}{2}$ , de premier terme $v_{0} = - 2$ . Donc $u_{n} = 2 - 2 (- \frac{1}{2})^{n} .$

La limite. $- \frac{1}{2} = \frac{1}{2} < 1$ , donc $(- \frac{1}{2})^{n} \to 0$ et $u_{n} \to 2$ .

L'alternance. L'écart à la limite vaut $u_{n} - 2 = - 2 (- \frac{1}{2})^{n} = - \frac{2 ( - 1 ) ^{n}}{2 ^{n}} .$ Son signe est celui de $- (- 1)^{n}$ : négatif pour $n$ pair, positif pour $n$ impair. Les termes de rang pair sont donc au-dessous de $2$ , ceux de rang impair au-dessus, et la suite saute d'un côté à l'autre à chaque étape.

Ce que la raison négative change. Avec $a > 0$ , l'écart à l'équilibre garde son signe et la suite s'approche par un seul côté. Avec $a < 0$ , il change de signe à chaque pas : la convergence est en spirale. Dans les deux cas c'est $∣ a ∣ < 1$ , et rien d'autre, qui décide de la convergence — sa valeur absolue est le facteur par lequel l'écart est multiplié à chaque étape.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.