Un équilibre dont on s'éloigne

Le point fixe. On résout $\ell =2\ell -3$, ce qui donne $\ell =3$. C'est la valeur qui, une fois atteinte, ne bougerait plus : si $u_0$ valait $3$, la suite serait constante.

L'expression. Posons $v_n=u_n-3$. Alors $$v_{n+1}=u_{n+1}-3=2u_n-3-3=2(u_n-3)=2v_n.$$ La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $2$, de premier terme $v_0=4-3=1$. Donc $v_n=2^n$ et $$u_n=3+2^n.$$

Contrôle. $u_1=2\times 4-3=5$, et la formule donne $3+2=5$ ; $u_2=2\times 5-3=7=3+4$.

La limite. $2^n\to +\infty$, donc $u_n\to +\infty$ : la suite diverge.

L'interprétation. L'écart à l'équilibre, $u_n-3=2^n$, est multiplié par $2$ à chaque étape : il enfle au lieu de s'effacer. L'équilibre est dit répulsif. C'est le coefficient $a=2$, de valeur absolue $>1$, qui en décide — et le résultat serait le même en partant de $u_0=3,001$, où la suite finirait aussi par exploser. Seul le départ exact $u_0=3$ y échappe.