Un équilibre vers lequel on tend

Le point fixe. On résout $\ell =\frac{1}{2}\ell +4$, soit $\frac{1}{2}\ell =4$ et $\ell =8$.

L'expression. Posons $v_n=u_n-8$ : $$v_{n+1}=\frac{1}{2}{u}_n+4-8=\frac{1}{2}(u_n-8)=\frac{1}{2}{v}_n.$$ $(v_n)$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$, de premier terme $v_0=-8$, donc $v_n=-8{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ et $$u_n=8-8{\left(\frac{1}{2}\right)}^n.$$

Contrôle. $u_1=0+4=4$, et la formule donne $8-4=4$ ; $u_2=2+4=6=8-2$.

La limite. ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n\to 0$, donc $u_n\to 8$.

La monotonie. $u_{n+1}-u_n=-8{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}+8{\left(\frac{1}{2}\right)}^n=8{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\left(1-\frac{1}{2}\right)=4{\left(\frac{1}{2}\right)}^n>0$ : la suite est strictement croissante.

L'interprétation. L'écart à l'équilibre vaut $-8{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ : il est négatif — la suite reste sous $8$ — et sa valeur absolue est divisée par deux à chaque étape. L'équilibre est attractif, parce que $\left|\frac{1}{2}\right|<1$. La suite croît vers $8$ sans jamais l'atteindre.