Un placement à intérêts composés

Le capital suit une suite géométrique de raison $1,02$ : $C_n=5000\times 1,02^n$. On cherche le plus petit $n$ tel que $C_n>8000$, soit

$$1,02^n>1,6⟺n\ln (1,02)>\ln (1,6)⟺n>\frac{\ln 1,6}{\ln 1,02}\approx \frac{0,4700}{0,019803}\approx 23,73.$$

Le plus petit entier convenable est $n=24$ : au bout de $24$ ans, $C_{24}\approx 8042$ €, alors que $C_{23}\approx 7885$ € ne suffit pas.

Deux remarques. La division par $\ln (1,02)$ conserve le sens de l'inégalité parce que ce logarithme est positif — c'est le point où l'on se trompe si la raison est inférieure à $1$. Et l'on n'arrondit pas $23,73$ à $24$ « parce que c'est plus proche » : on prend l'entier strictement supérieur, car la condition est une inégalité stricte.