Un prélèvement annuel sur un capital

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 4 — Suites de nombres réels · Suites arithmético-géométriques et récurrences d'ordre 2

Énoncé

Un capital $C_{0}$ placé à $5 %$ par an subit un retrait de $300$ € à la fin de chaque année : $C_{n + 1} = 1, 05 C_{n} - 300$ . Exprimer $C_{n}$ , déterminer l'équilibre, et dire pour quels $C_{0}$ le capital finit par s'épuiser.

Corrigé

L'équilibre. Le point fixe vérifie $ℓ = 1, 05 ℓ - 300$ , soit $0, 05 ℓ = 300$ et $ℓ = 6000$ : c'est le capital dont les intérêts annuels paient exactement le retrait.

La forme explicite. En posant $v_{n} = C_{n} - 6000$ , il vient $v_{n + 1} = 1, 05 v_{n}$ , suite géométrique de raison $1, 05$ . Donc $C_{n} = 6000 + (C_{0} - 6000) \times 1, 0 5^{n} .$

La discussion. Comme $1, 05 > 1$ , l'équilibre est répulsif : l'écart initial est multiplié par $1, 05$ chaque année. Si $C_{0} = 6000$ , la suite est constante. Si $C_{0} > 6000$ , le capital croît sans limite. Si $C_{0} < 6000$ , il décroît et devient négatif : le capital s'épuise, et $C_{n} \leq 0$ équivaut à $1, 0 5^{n} \geq \frac{6000}{6000 - C _{0}}, soit n \geq \frac{ln ( 6000/ ( 6000 - C _{0} ) )}{ln 1 , 05} .$ Pour $C_{0} = 5000$ : $\frac{l n 6}{l n 1 , 05} \approx 36, 7$ , donc $C_{36} \approx 208$ € et $C_{37} < 0$ . Le capital s'épuise au cours de la $3 7^{e}$ année.

Le point à retenir. Le point fixe n'a nul besoin d'être atteint pour gouverner : c'est un seuil de décision. Au-delà, on s'enrichit ; en deçà, on se ruine. Et la formule continue de calculer après $C_{n} < 0$ , là où le modèle, lui, a cessé de décrire quoi que ce soit.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.