Un prélèvement annuel sur un capital

L'équilibre. Le point fixe vérifie $\ell =1,05\ell -300$, soit $0,05\ell =300$ et $\ell =6000$ : c'est le capital dont les intérêts annuels paient exactement le retrait.

La forme explicite. En posant $v_n=C_n-6000$, il vient $v_{n+1}=1,05v_n$, suite géométrique de raison $1,05$. Donc $$C_n=6000+(C_0-6000)\times 1,05^n.$$

La discussion. Comme $1,05>1$, l'équilibre est répulsif : l'écart initial est multiplié par $1,05$ chaque année. Si $C_0=6000$, la suite est constante. Si $C_0>6000$, le capital croît sans limite. Si $C_0<6000$, il décroît et devient négatif : le capital s'épuise, et $C_n\le 0$ équivaut à $$1,05^n\ge \frac{6000}{6000-C_0},\text{soit}n\ge \frac{\ln (6000/(6000-C_0))}{\ln 1,05}.$$ Pour $C_0=5000$ : $\frac{\ln 6}{\ln 1,05}\approx 36,7$, donc $C_{36}\approx 208$ € et $C_{37}<0$. Le capital s'épuise au cours de la $37^{\text{e}}$ année.

Le point à retenir. Le point fixe n'a nul besoin d'être atteint pour gouverner : c'est un seuil de décision. Au-delà, on s'enrichit ; en deçà, on se ruine. Et la formule continue de calculer après $C_n<0$, là où le modèle, lui, a cessé de décrire quoi que ce soit.