Un seuil ne prouve pas une convergence

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 4 — Suites de nombres réels · Convergence : monotonie, adjacence et seuils

Énoncé

Écrire une fonction Python seuil(eps) qui renvoie le plus petit $n$ tel que $\frac{n + 1}{n} - 1 < ε$ . Pourquoi une telle fonction ne peut-elle pas, en général, prouver qu'une suite converge ?

Corrigé


def seuil(eps):
    n = 1
    while abs((n + 1) / n - 1) >= eps:
        n = n + 1
    return n

Ici on sait répondre à la main : $\frac{n + 1}{n} - 1 = \frac{1}{n}$ , donc la condition s'écrit $n > \frac{1}{ε}$ et le seuil vaut $⌊ \frac{1}{ε} ⌋ + 1$ . Pour $ε = 1 0^{- 3}$ , la fonction renvoie $1001$ .

Pourquoi cela ne prouve rien. La fonction constate qu'à partir d'un certain rang l'écart est petit pour la valeur de $ε$ qu'on lui a donnée. Or la définition de la limite exige que ce soit vrai pour tout $ε > 0$ — une infinité de vérifications, qu'aucune exécution finie ne peut faire.

Pire, une machine ne voit qu'un début : la suite $w_{n} = \frac{1}{n}$ pour $n \leq 1 0^{9}$ et $w_{n} = 1$ ensuite passerait tous les tests raisonnables en semblant tendre vers $0$ . Et la précision flottante finit par mentir : pour $ε$ trop petit, $\frac{n + 1}{n}$ vaut exactement $1, 0$ en machine et la boucle s'arrête pour une raison qui n'a rien de mathématique.

Le calcul illustre et chiffre ; c'est la démonstration qui prouve.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.