Un terme sur deux

La première somme. On reconnaît une somme géométrique déguisée : $q^{2k}=(q^2{)}^k$. La raison est donc $q^2$, différente de $1$ par hypothèse, et la formule du cours donne $$\sum _{k=0}^n{q}^{2k}=\sum _{k=0}^n(q^2{)}^k=\frac{1-q^{2(n+1)}}{1-q^2}.$$ Il y a bien $n+1$ termes, d'indices $0$ à $n$ : c'est le compte des termes, et non la valeur du plus grand indice, qui figure à l'exposant.

La seconde. Chaque terme est $q$ fois le précédent : $q^{2k+1}=q\times q^{2k}$. La constante $q$ sort de la somme : $$\sum _{k=0}^n{q}^{2k+1}=q\sum _{k=0}^n{q}^{2k}=\frac{q\left(1-q^{2n+2}\right)}{1-q^2}.$$

Application à $q=\frac{1}{3}$. Alors $q^2=\frac{1}{9}$ et $$\sum _{k=0}^n{\left(\frac{1}{3}\right)}^{2k}=\frac{1-9^{-(n+1)}}{1-\frac{1}{9}}=\frac{9}{8}\left(1-9^{-(n+1)}\right),\sum _{k=0}^n{\left(\frac{1}{3}\right)}^{2k+1}=\frac{3}{8}\left(1-9^{-(n+1)}\right).$$

Les limites. Comme $\left|\frac{1}{9}\right|<1$, la suite $9^{-(n+1)}$ tend vers $0$. Donc $$\sum _{k=0}^n{\left(\frac{1}{3}\right)}^{2k}⟶\frac{9}{8},\sum _{k=0}^n{\left(\frac{1}{3}\right)}^{2k+1}⟶\frac{3}{8}.$$

Contrôle. La somme de toutes les puissances de $\frac{1}{3}$ vaut $\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}$, et l'on retrouve bien $\frac{9}{8}+\frac{3}{8}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$ : les rangs pairs et les rangs impairs se partagent la somme totale.