Une limite de quotient

Numérateur et dénominateur tendent tous deux vers $+\infty$ : la forme est indéterminée. On factorise par le terme dominant, $n^2$ :

$$u_n=\frac{n^2\left(3-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right)}{n^2\left(2+\frac{5}{n^2}\right)}=\frac{3-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}{2+\frac{5}{n^2}}\underset{n\to +\infty }{\to }\frac{3}{2}.$$

La limite d'un quotient de deux polynômes de même degré est le quotient des coefficients dominants — ici $3/2$. Si le degré du numérateur était plus grand, la limite serait infinie ; plus petit, elle serait nulle.