Une population et son solde migratoire

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 4 — Suites de nombres réels · Suites arithmético-géométriques et récurrences d'ordre 2

Énoncé

Une ville compte $100000$ habitants. Chaque année, elle perd $2 %$ de sa population et accueille $3000$ nouveaux arrivants. On note $P_{n}$ la population après $n$ années. Exprimer $P_{n}$ , déterminer sa limite, et dire au bout de combien d'années la population dépasse $120000$ habitants.

Corrigé

La modélisation. Perdre $2 %$ , c'est multiplier par $0, 98$ ; les arrivants s'ajoutent ensuite. D'où $P_{n + 1} = 0, 98 P_{n} + 3000, P_{0} = 100 000.$ C'est une suite arithmético-géométrique de coefficients $a = 0, 98$ et $b = 3000$ .

Le point fixe. On cherche $ℓ$ tel que $ℓ = 0, 98 ℓ + 3000$ , soit $0, 02 ℓ = 3000$ et $ℓ = \frac{3000}{0 , 02} = 150 000.$ C'est la population d'équilibre : à ce niveau, les départs valent exactement les arrivées.

L'expression. Posons $v_{n} = P_{n} - 150000$ . Alors $v_{n + 1} = P_{n + 1} - ℓ = 0, 98 P_{n} + 3000 - (0, 98 ℓ + 3000) = 0, 98 (P_{n} - ℓ) = 0, 98 v_{n} .$ La suite $(v_{n})$ est géométrique de raison $0, 98$ et de premier terme $v_{0} = - 50000$ . Donc $P_{n} = 150000 - 50000 \times 0, 9 8^{n} .$

La limite. $∣0, 98∣ < 1$ , donc $0, 9 8^{n} \to 0$ et $P_{n} \to 150000$ . La population croît (l'écart à l'équilibre, négatif, se résorbe) et s'approche de $150000$ sans jamais l'atteindre.

Le seuil. On cherche le plus petit $n$ tel que $P_{n} > 120000$ : $150000 - 50000 \times 0, 9 8^{n} > 120000 ⟺ 0, 9 8^{n} < 0, 6.$ Le logarithme est croissant et $ln 0, 98 < 0$ , donc l'inégalité change de sens à la division : $n > \frac{ln 0 , 6}{ln 0 , 98} \approx 25, 3.$ Il faut donc $n = 26$ années ; en effet $P_{25} \approx 119700$ et $P_{26} \approx 120100$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.